Диаспора - Страница 108

К оглавлению

108

Если поверхность плоская, то общая сумма внутренних углов треугольников т равна т = 180ф. В то же время т = ЗбОсо. Отсюда следует, что поверхность может быть уплощена только в том случае, если

Поскольку для сферы число Эйлера х = 2, уплощить ее невозможно.

К главе Сердце Ящерицы

На моем сайте можно загрузить интерактивный Java-апплет, иллюстрирующий излучение гравитационных волн двойной системой нейтронных звезд. Для работы с ним ваш браузер должен поддерживать Java. Апплет занимает около 11 Кбайт, так что, если у вас медленный Интернет, загрузка отнимет какое-то время.

Следует заметить, что программа использует алгоритмы вычислений, основанные на общей теории относительности в ее современном виде. Эффекты физики вселенной Диаспоры апплет не учитывает.

Период вращения и расстояние между компонентами системы связаны законом Кеплера. Квадрат периода T пропорционален кубу расстояния а:

Здесь M= YnTm- совокупная масса компонентов, a G - гравитационная постоянная. Общая энергия излучения гравитационных волн обратно пропорциональна пятой степени расстояния между звездами:

Здесь ц = (тт^)1{т + т) - приведенная масса системы. Краткое обоснование соотношения таково: амплитуда гравитационного излучения каждой звезды пропорциональна ее массе т. и центробежному ускорению ша., где а - расстояние от центра масс системы, а со = 2л/Т, а также обратно пропорциональна расстоянию до наблюдателя г. По определению JnO = ma так что звезды генерируют гравитационные импульсы в точности одинаковой амплитуды, а разность фаз между ними составляет 180 градусов. Временная задержка при прохождении звезд не дает волнам скомпенсировать друг друга и поставляет дополнительную разность фаз, пропорциональную (а + а)со. Итак, амплитуда волны, регистрируемой удаленным наблюдателем, составляет

A ~ paco/r

Мощность излучения пропорциональна квадрату амплитуды. Подставляя вместо со полученное из закона Кеплера соотношение со ~ Mla, получаем

L- Аг

L - MHIa

Точные численные коэффициенты при Ghc можно найти из анализа размерностей, но все же множитель 32/5 требует учета общей теории относительности. Точное описание движения пробных частиц также выходит за рамки настоящего очерка, но оценить искривление орбиты можно, умножив соотношение для А на 772. Получаем

dx/x ~ расо/г

Воспользовавшись законом Кеплера и подставляя численные коэффициенты при Ghc, имеем

dx/x ~ (GMp)/(car)

Вычисляя время до столкновения звезд, учтем, что суммарная энергия системы (кинетическая плюс потенциальная) составит

E = -GMp/a + HiWO^ + т(ла/2

E = -GM\x/a + InCO а12

E = -GMyJa + GM\x!2a E = -GM\il2a

Дифференциальное уравнение для ее изменения во времени получается из условия равенства этой энергии и энергии гравитационных волн:

GMu

dE/dt= - da/dt dE/dt = — L

-^-da/dt = —(32CMV)/5cada/dt = — (64СМд/5са) dt/da = -(5c a /MGM ц)

Интегрирование элементарно и привносит дополнительный множитель 1/4:

t = -(5ccd/256GMPn)

Здесь предполагается, что звезды столкнутся при 1=0.

В этих выкладках я следовал гл. 35-36 учебника С. W Misner, К. S. Thorne and J. A. Wheeler, Gravitation, W. Н. Freemann, New York, 1970 [Имеется русский перевод: Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер, Гравитация. В 3-х тт. M.: Мир, 1977.] (далее MTW). Уравнение для энергии излучения L с точностью до коэффициентов пересчета из системы единиц, где G = с = 1, совпадает с уравнением MTW (36.16а), а уравнение для времени столкновения t- с уравнением MTW (36.17Ь). Промежуточные вычисления основаны на уравнении MTW (36.1).

К главе Закороченные пути

На моем сайте можно загрузить интерактивный Java-апплет, иллюстрирующий пространственно-временную диаграмму гипотетической системы двух закороченных червоточин. Для работы с ним ваш браузер должен поддерживать Java. Апплет занимает 71 Кбайт, так что, если у вас медленный Интернет, загрузка отнимет какое-то время. Две красные вертикальные прямые соответствуют мировым линиям горловин одной червоточины, а две синие - мировым линиям горловин другой червоточины. Все, что проходит в горловину одной червоточины, немедленно возникает из горловины другой. Термин «немедленно» следует трактовать в контексте системы отсчета, связанной с первой червоточиной. Изменяя наклон синих прямых, вы можете варьировать относительную скорость прохождения фотонов по червоточинам и наблюдать, как влияет это изменение на путь пробного фотона, отмеченный фиолетовыми линиями.

Вид окна работающей программы

К главе Степени свободы

В теории Кожух каждая элементарная частица представляет собой горловину червоточины. В двумерном пространстве, показанном на следующем рисунке, в центре каждой червоточины присутствует сингулярность.

Кажущаяся сингулярность в центре червоточины

Однако, если вложить червоточину в пространство с числом измерений, большим на 2, сингулярность устраняется. Теперь каждая точка может занимать любую позицию на поверхности сферы. Эта сфера называется стандартным расслоением теории Кожух.

108