Диаспора - Страница 109

К оглавлению

109

Стандартное расслоение теории червоточин Уилера-Кожух

Теперь в измерениях высшего порядка пути через червоточину уже не сходятся в точке сингулярности.

К главе 5 +1

В трехмерном пространстве гравитационный потенциал обратно пропорционален квадрату расстояния.

В пятимерном же пространстве он обратно пропорционален четвертой степени расстояния. Дно колодца лежит ниже, но уплощение потенциальной поверхности на выходе из него происходит быстрее.

Центробежная сила от числа измерений не зависит. Для данного значения орбитального углового момента отталкивание обратно пропорционально кубу расстояния.

Комбинированный потенциал, учитывающий как гравитационное взаимодействие, так и центробежную силу, в трех измерениях проявляет «энергетический желоб», разрешающий устойчивые круговые или эллиптические орбиты.

В пяти измерениях присутствует «энергетический водораздел», и разрешены только неустойчивые круговые орбиты. Даже на них движение требует постоянного притока энергии. Ни один естественный астрономический объект там долго не продержится.

В пяти измерениях электростатическое притяжение между положительно заряженным ядром и отрицательно заряженным лептоном (аналогом электрона) математически эквивалентно гравитационному взаимодействию. Стабильных волновых функций нет. Лептонная волна сжимается до размеров ядра. А внутри последнего колодец потенциальной энергии принимает форму умеренно уплощенного параболоида:

Если скомбинировать его с потенциалом орбитального углового момента лептона, появляется еще и центральный пик:

На нижнем энергетическом уровне, однако, орбитальный угловой момент у лептона отсутствует. Волновая функция обладает идеальной сферической симметрией, вероятностное распределение для лептона по поверхности потенциальной энергии колоколообразно для любой плоскости, проходящей через центр ядра:

На следующем уровне имеется угловой момент, и волновая функция «дрейфует» от центра ядра:

Если скомбинировать последнюю функцию со своим аналогом, повернутым на 90 градусов в любом направлении и дополнительно умноженным на г (\/— 1), получим собственные функции углового момента (то есть волновые функции, для которых значение этого параметра определено) с шагом ± 1 ед. Они показаны ниже, с цветовой кодировкой комплексной фазы.

К главе Разбиение единицы

Поверхность гиперсферы в пятимерном пространстве описывается уравнением

где х, у z, и, W- пространственные координаты, а система координат отцентрирована по центру гиперсферы. Предположим, что гиперсфера вращается как целое. Общее выражение для скорости любой точки вращающегося тела не зависит от числа измерений и дается уравнением

где матрица угловых скоростей тела обозначена как Cl, а вектор точки - как г. Матрица должна обладать свойством антисимметричности, то есть Cl.. = -£!..$ Чтобы доказать это, заметим, что Cl - матрица производных по времени от компонент линейного преобразования позиции точки в момент времени ( = 0 в позицию, соответствующую повороту. Матрица преобразования M{t) диктует такой поворот пары базисных векторов идеально жесткого тела е. и е., что их произведение, измеряющее угол между векторами, остается неизменным. Скорость изменения этого произведения во времени, следовательно, равна нулю.

Здесь мы использовали соглашение о суммировании, введенное Эйнштейном, и просуммировали по всем значениям повторяющихся индексов (например, к и г). Чтобы получить четвертое уравнение из третьего, заметьте, что M(O) - просто матрица идентичности. Переходя к искомому соотношению, мы отбросили временную зависимость элементов матрицы угловых скоростей, поскольку предполагаем, что на тело не действуют никакие внешние силы, а значит, Q постоянна. В пяти измерениях общая антисимметричная 5 х 5-матрица Q будет иметь 10 независимых параметров, но всегда можно выбрать базис, в котором она приводится к каноническому виду:

109