Диаспора - Страница 14

Ятима повозилась со сферой, деформировав ее последовательно перетекавшими друг в друга формами.

— Мне кажется, что вы правы. Но что же это дает нам?

Радья отмолчалась. Ятима придала объекту прозрачность, так что стали видны все треугольники одновременно. Они образовывали неплотную сеть, шеститочечную, застегнутую авоську туго натянутых струн. Онона выпрямила все двенадцать линий и тем значительно уплощила треугольники, но и сама сфера изменилась, превратившись в октаэдрический алмаз. Так же происходило и в прошлом построении, когда у негоё получился куб. Каждая грань алмаза обладала идеальной евклидовой топологией, но шесть узловых точек казались неисчерпаемыми резервуарами кривизны.

Онона попыталась сгладить и прижать к плоскости эту шестерку. Это удалось. Но теперь восемь треугольников искривились и приобрели неевеклидову топологию - какая была им присуща и на исходной сфере. Представлялось очевидным, что точки и треугольники нельзя одновременно привести к плоскостному расположению... но Ятима по-прежнему не могла уразуметь, почему две эти цели недостижимы по одному и тому же пути. Емей пришло в голову измерить углы стыковки четырех треугольников, там, где некогда находилась вершина алмаза: 90, 90, 90, 90 градусов. Результат соответствовал ожиданиям: чтобы замостить плоскость безо всяких промежутков, общая сумма углов должна равняться 360 градусам. Онона восстановила непритупленную алмазоподобную конструкцию и снова измерила углы: 60,60, 60, 60 градусов. Сумма углов равнялась 240 градусам, и этого было

недостаточно для приведения к плоскости. Если сумма меньше полной окружности, все, что онона натянет на поверхность, будет выпучиваться, подобно конусу...

Вон оно что! Вот в чем загвоздка! Сумма углов между ребрами, сходящимися в каждую вершину, должна равняться 360 градусам, чтобы стало возможно уплощить структуру. Но каждый простой, евклидов треугольник поставляет только 180 градусов. Это вполовину меньше нужного. Итак, если бы треугольников было в точности вдвое больше, чем вершин, все бы складывалось тютелька в тютельку, но, располагая лишь восемью треугольниками для шести вершин, уплощить сферу не удастся.

Ятима торжествующе усмехнулась и изложила свои рассуждения Радье. Та спокойно заметила:

- Отлично. Ты только что переоткрыла теорему Гаусса-Бонне, связав число Эйлера с общей кривизной поверхности.

- Правда? — Ятиму охватила гордость. Эйлер и Гаусс были легендарными копателями прошлого, и хотя плотники эти давно умерли, с ними и посейчас мало кто мог тягаться.

- Не совсем, - с легкой улыбкой призналась Радья. - Тебе стоило бы поглядеть на конструктивное доказательство: думаю, ты уже созрела для формальных оснований геометрии римановых пространств. Поначалу оно тебе может показаться чрезмерно абстрактным. Не стесняйся, если что, вернуться и поиграть с более простыми демонстративными примерами.

- Хорошо. - Ятиме не надо было объявлять, что урок окончен. Онона подняла руку в жесте признательности, стерла свою иконку из чащобы и очистила поле восприятия.

На миг Ятима оказалась вне всех окружений, с заглушенными каналами ввода информации, наедине с собой и мыслями. Онона знала, что полное постижение понятия кривизны так и не было нимею достигнуто. Насчитывались десятки различных путей к нему. Впрочем, онона могла быть довольна и тем, что ухватила маленький кусочек целой мозаики.

Затем она переместилась в Истинокопи.

Они представляли собой пещеру, погребенную глубоко в толще темных скал. Повсюду громоздились серые магматические минералы, наплывали и оползали темно-коричневые глины, проглядывали полоски рыжевато-красных рудовых выходов. В пол пещеры был вделан странный, светившийся тусклым светом объект: десятки порхавших туда-сюда искорок под причудливой пелериной из легких эфирных мембран. Мембраны образовывали концентрические гнездовья в форме слезинок или луковиц, напоминавшие картины Дали. Каждый ярус гнездовищ оканчивался пузырьком, в котором была уловлена единственная искорка, редко-редко - группа из двух или трех. Искорки перемещались внутри структуры, но конфигурация мембран неустанно подстраивалась так, чтобы ни одна искра не могла ускользнуть за пределы своего уровня вложенности.

В некотором смысле Истинокопи были просто еще одним индекс-окружением. Сотни тысяч специализированных срезов содержимого библиотеки были доступны разными путями - Ятима карабкалась по Эволюционному Древу, играла в классики на клетках Периодической Таблицы, прогуливалась по аллеям Времялиний, наблюдая, как развертываются по егоё прихоти истории плотников, глейснерианцев и граждан. Примерно пол-мегатау назад онона от-

важилась окунуться в Эукариотическую Клетку: каждый белок и каждый нуклеотид, каждый углевод, дрейфующий по цитоплазме, передавали широкополосные гештальт-теги, полные ссылок на все, что библиотека могла емей рассказать о молекулярной структуре, к которой относился конкретный вопрос.

В Истинокопях теги не были ссылками в привычном смысле слова: они включали в себя полные формулировки частных определений, аксиом, утверждений или теорем, представленных объектами определенного сорта. Копи были самодостаточны: каждый математический результат, полученный плотниками и их потомками, можно было вызвать и пронаблюдать во всей полноте доказательства постадийно. Библиотечная экзегетика служила немалым подспорьем, но сами истины были все еще где-то рядом. Все истины.

Заточенный в каменной толще светоносный объект представлял собой широкополосную трансляцию топологического пространства как математической концепции: набор точек (искорки), сгруппированных в открытые подмножества (содержимое одной и более мембран), определявших способ соединения точек друг с другом; при этом устранялась необходимость в таких расплывчатых понятиях, как расстояние и измерение. Если не учитывать тривиальный случай бесструктурного множества, концепция эта была проще всего в освоении, выступала общим предком почти каждого объекта, достойного называться пространством, сколь угодно экзотичного. В пещеру вел единственный туннель, предоставлявший доступ к необходимым базисным понятиям и аксиоматике, а выходов из нее насчитывалось около полудюжины. Их уровень понемногу понижался - по мере того, как выявлялись разнообразные следствия первоначального определения. Предположим, что Y — топологическое пространство... и что отсюда следует? Кривые дорожки эти были вымощены небольшими драгоценными кам-