Диаспора - Страница 110

110

Отметим, что координаты х и у выбраны так, что они лежат в одной плоскости вращения, координаты z и и - в другой, а координата w лежит в плоскости, перпендикулярной им обеим. Чтобы понять, почему всегда можно выбрать такой базис, сперва учтем, что определитель любой антисимметричной матрицы N * N, где N- нечетное число, равен нулю. Это так, потому что detQ = CletQ', где T означает транспонирование, а определитель - собственно, /V-членная сумма произведений, в которой знаки везде изменены на противоположные для транспонированных компонент антисимметричной матрицы. Итак, detQ = -(detQ) для нечетных N. Отсюда следует, что по крайней мере один ненулевой вектор в нуль-пространстве Q наверняка существует. Выбирая его как опорное направление координаты w, ось вращения, мы «заполняем» последние столбец и строку матрицы Q нулями. Задача сводится к четырехмерной. Четырехмерный случай будет рассмотрен дальше.

Пока же перемножим вектор для общей точки г = (x,y,u,z,w) на каноническую матрицу и получим

Итак, для любой точки cx=y=z=u=Q скорость равна нулю. Набор таких точек составляет ось вращения тела - ось w. Сечение осью исходной гиперсферы даст два полюса, на которых w = ± R. Физически возможен, но космологически маловероятен случай, когда CO = 0, то есть, чтобы скорость стала равной 0, достаточно удовлетворить условию х = у = 0. При этом остальные три координаты можно выбирать произвольно: они образуют трехмерный объем. Сечение объектом гиперсферы даст единственный полюс: двумерную сферу Z + и + w = R.

Два экваториальных круга:

В первом случае скорость вращения поверхности равна (BT?, а во втором - соR. Итак, в пятимерном пространстве объекты могут вращаться одновременно с различными скоростями.

Перейдем к рассмотрению четырехмерного случая. Здесь общая матрица угловых скоростей задается шестью параметрами:

Отметим, что всегда можно ориентировать систему координат так, чтобы матрица А приводилась к каноническому виду. Один из способов это сделать требует отыскания собственных векторов AA, матричного произведения А на себя саму. Это действительная симметричная матрица, и, следовательно, у нее четыре ортогональных собственных вектора. Они образуют пары с собственными значениями -CO и -со. Смысл этого явления легко выяснить из геометрических аналогий: действуя А на любой вектор, лежащий в одной из плоскостей вращения, мы поворачиваем этот вектор на 90 градусов и умножаем на соответствующую компоненту ю. Действуя А дважды, мы восстанавливаем исходное значение вектора и умножаем его компоненты на ю. Каждая пара собственных векторов лежит в одной из плоскостей вращения.

Другой способ заключается в применении линейного оператора - звезды Ходжа. Обычно дуальная матрице M матрица Ходжа записывается как ★ М, отсюда кодовое обозначение макросферы в Диаспоре. В контексте четырехмерной евклидовой геометрии звезда Ходжа отображает плоскости на другие плоскости. Например, если четыре используемых нами координаты обозначить как x,y,z,u, то дуальная плоскость Ходжа для плоскости ху - плоскость гы. Аналогичным образом находятся и другие дуальные плоскости. Ситуация несколько осложняется тем, что при повороте в каждой плоскости придется выбирать из двух направлений вращения. Но, рассматривая А как сумму поворотов в шести координатных плоскостях, мы получаем дуальные плоскости для каждой из них без особого труда. Придется лишь поменять несколько знаков, чтобы соблюсти выбранную ориентацию, и вместо коэффициентов, соответствующих, например, координатам х и у, написать коэффициенты, соответствующие, например, координатам z и и. Можете самостоятельно проверить, что получается

Теперь мы хотели бы расписать А как сумму по вращениям в двух плоскостях: в одной плоскости, матрицу которой мы обозначим как S, и перпендикулярной к первой, чью матрицу мы обозначим как * S. Иными словами, следует выбрать S, со,, со так, чтобы

Действуя оператором Ходжа, а также учитывая, что двукратное его применение восстанавливает исходную матрицу, получим

Первое из этих уравнений домножим на со , а второе - на оз. Вычтем их друг из друга. Имеем

Чтобы найти значения ш, и со, заметим, что результат применения матрицы S к вектору, перпендикулярному ее плоскости, равен нулю. Это возможно только в том случае, если определитель матрицы detS= 0. Выпишем матрицу в явном виде и вычислим ее определитель. Это действие довольно утомительно.

Последнее уравнение для det 5 можно решить для значений сорю,, при которых определитель равен нулю. Переобозначим эти значения как Q .

Потребуем нормализовать матрицу S, чтобы |Sp = | ★ Sp = I. Тогда значения CO и со можно найти по отдельности. Между «амплитудами» исследуемых матриц имеется пифагорово соотношение. Как только А разбита на дуальные пары, становится легко найти индивидуальные скорости вращения.

110